注：
文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习技法》课程。
笔记原作者：红色石头
微信公众号：AI有道

上节课我们主要介绍了Kernel Logistic Regression，讨论如何把SVM的技巧应用在soft-binary classification上。方法是使用L2-level learning，先利用SVM得到参数\(b\)和\(w\)，然后再用通用的logistic regression优化算法，通过迭代优化，对参数\(b\)和\(w\)进行微调，得到最佳解。然后，也介绍了可以通过Representer Theorem，在\(z\)空间中，引入SVM的kernel技巧，直接对logistic regression进行求解。本节课将延伸上节课的内容，讨论如何将SVM的kernel技巧应用到regression问题上。

1. Kernel Ridge Regression

首先回顾一下上节课介绍的Representer Theorem，对于任何包含正则项的L2-regularized linear model，它的最佳化解\(w\)都可以写成是\(z\)的线性组合形式，因此，也就能引入kernel技巧，将模型kernelized化。

那么如何将regression模型变成kernel的形式呢？我们之前介绍的linear/ridge regression最常用的错误估计是squared error，即\(err(y,w^Tz)=(y-w^Tz)^2\)。这种形式对应的解是analytic solution，即可以使用线性最小二乘法，通过向量运算，直接得到最优化解。那么接下来我们就要研究如何将kernel引入到ridge regression中去，得到与之对应的analytic solution。

我们先把Kernel Ridge Regression问题写下来：

其中，最佳解\(w_*\)必然是\(z\)的线性组合。那么我们就把\(w_*=\sum_{n=1}^N\beta_nz_n\)代入到ridge regression中，将\(z\)的内积用kernel替换，把求\(w_*\)的问题转化成求\(\beta_n\)的问题，得到：

ridge regression可以写成矩阵的形式，其中第一项可以看成是\(\beta_n\)的正则项，而第二项可以看成是\(\beta_n\)的error function。这样，我们的目的就是求解该式最小化对应的\(\beta_n\)值，这样就解决了kernel ridge regression问题。

求解\(\beta_n\)的问题可以写成如下形式：

\(E_{aug}(\beta)\)是关于\(\beta\)的二次多项式，要对\(E_{aug}(\beta)\)求最小化解，这种凸二次最优化问题，只需要先计算其梯度，再令梯度为零即可。\(\nabla E_{aug}(\beta)\)已经在上式中写出来了，令其等于零，即可得到一种可能的\(\beta\)的解析解为：$$\beta=(\lambda I +K)^{-1}y$$ 这里需要关心的问题是\((\lambda I+K)\)的逆矩阵是否存在？答案是肯定的。因为我们之前介绍过，核函数\(K\)满足Mercer’s condition，它是半正定的，而且\(\lambda>0\)，所以\((\lambda I+K)\)一定是可逆的。从计算的时间复杂上来说，由于\((\lambda I+K)\)是\(N\times N\)大小的，所以时间复杂度是\(O(N^3)\)。还有一点，\(\nabla E_{aug}(\beta)\)是由两项乘积构成的，另一项是\(K\)，会不会出现\(K=0\)的情况呢？其实，由于核函数\(K\)表征的是\(z\)空间的内积，一般而言，除非两个向量互相垂直，内积才为零，否则，一般情况下\(K\)不等于零。这个原因也决定了\((\lambda I+K)\)是dense matrix，即\(\beta\)的解大部分都是非零值。这个性质，我们之后还会说明。

所以说，我们可以通过kernel来解决non-linear regression的问题。下面比较一下linear ridge regression和kernel ridge regression的关系。

如上图所示，左边是linear ridge regression，是一条直线；右边是kernel ridge regression，是一条曲线。大致比较一下，右边的曲线拟合的效果更好一些。这两种regression有什么样的优点和缺点呢？对于linear ridge regression来说，它是线性模型，只能拟合直线；其次，它的训练复杂度是\(O(d^3+d^2N)\)，预测的复杂度是\(O(d)\)，如果\(N\)比\(d\)大很多时，这种模型就更有效率。而对于kernel ridge regression来说，它转换到\(z\)空间，使用kernel技巧，得到的是非线性模型(因为使用的是转换后的\(z\)变量，是非线性模型)，所以更加灵活；其次，它的训练复杂度是\(O(N^3)\)，预测的复杂度是\(O(N)\)，均只与\(N\)有关。当\(N\)很大的时候，计算量就很大，所以，kernel ridge regression适合\(N\)不是很大的场合。比较下来，可以说linear和kernel实际上是效率（efficiency）和灵活（flexibility）之间的权衡。

2. Support Vector Regression Primal

我们在机器学习基石课程中介绍过linear regression可以用来做classification，那么上一部分介绍的kernel ridge regression同样可以来做classification。我们把kernel ridge regression应用在classification上取个新的名字，叫做least-squares SVM（LSSVM）。

先来看一下对于某个问题，soft-margin Gaussian SVM和Gaussian LSSVM结果有哪些不一样的地方。

如上图所示，如果只看分类边界的话，soft-margin Gaussian SVM和Gaussian LSSVM差别不是很大，即的到的分类线是几乎相同的。但是如果看Support Vector的话（图中方框标注的点），左边soft-margin Gaussian SVM的SV不多，而右边Gaussian LSSVM中基本上每个点都是SV。这是因为soft-margin Gaussian SVM中的\(\alpha_n\)大部分是等于零，\(\alpha_n>0\)的点只占少数，所以SV少。而对于LSSVM，我们上一部分介绍了\(\beta\)的解大部分都是非零值，所以对应的每个点基本上都是SV。SV太多会带来一个问题，就是做预测的矩\(g(x)=\sum_{n=1}^N\beta_nK(x_n,x)\)，如果\(\beta_n\)非零值较多，那么\(g\)的计算量也比较大，降低计算速度。基于这个原因，soft-margin Gaussian SVM更有优势。

那么，针对LSSVM中dense \(\beta\)的缺点，我们能不能使用一些方法来的得到sparse \(\beta\)，使得SV不会太多，从而得到和soft-margin SVM同样的分类效果呢？下面我们将尝试解决这个问题。

方法是引入一个叫做Tube Regression的做法，即在分类线上下分别划定一个区域（中立区），如果数据点分布在这个区域内，则不算分类错误，只有误分在中立区域之外的地方才算error。

假定中立区的宽度为\(2\epsilon\)，\(\epsilon>0\),那么error measure就可以写成：$$err(y,s)=max(0,|s-y|-\epsilon)$$ 对应上图中红色标注的距离。

通常把这个error叫做\(\epsilon\)-insensitive error，这种max的形式跟我们上节课中介绍的hinge error measure形式其实是类似的。所以，我们接下来要做的事情就是将L2-regularized tube regression做类似于soft-margin SVM的推导，从而得到sparse \(\beta\)。
首先，我们把tube regression中的error与squared error做个比较：

然后，将\(err(y,s)\)与\(s\)的关系曲线分别画出来：

上图中，红色的线表示squared error，蓝色的线表示tube error。我们发现，当\(|s-y|\)比较小即\(s\)比较接近\(y\)的时候，squared error与tube error是差不多大小的。而在\(|s-y|\)比较大的区域，squared error的增长幅度要比tube error大很多。error的增长幅度越大，表示越容易受到noise的影响，不利于最优化问题的求解。所以，从这个方面来看，tube regression的这种error function要更好一些。

现在，我们把L2-Regularized Tube Regression写下来：

这个最优化问题，由于其中包含max项，并不是处处可微分的，所以不适合用GD/SGD来求解。而且，虽然满足representer theorem，有可能通过引入kernel来求解，但是也并不能保证得到sparsity \(\beta\)。从另一方面考虑，我们可以把这个问题转换为带条件的QP问题，仿照dual SVM的推导方法，引入kernel，得到KKT条件，从而保证解\(\beta\)是sparse的。

所以，我们就可以把L2-Regularized Tube Regression写成跟SVM类似的形式：

值得一提的是，系数\(\lambda\)和\(C\)是反比例相关的，\(\lambda\)越大对应\(C\)越小，\(\lambda\)越小对应\(C\)越大。而且该式也把\(w_0\) 即\(b\)单独拿了出来，这跟我们之前推导SVM的解的方法是一致的。

现在我们已经有了Standard Support Vector Regression的初始形式，这还是不是一个标准的QP问题。我们继续对该表达式做一些转化和推导：

如上图右边所示，即为标准的QP问题，其中\(\xi_n^{\bigvee}\)和\(\xi_n^{\bigwedge}\)分别表示upper tube violations和lower tube violations。这种形式叫做Support Vector Regression（SVR） primal。

SVR的标准QP形式包含几个重要的参数：\(C\)和\(\epsilon\)。\(C\)表示的是regularization和tube violation之间的权衡。large C倾向于tube violation，small C则倾向于regularization。\(\epsilon\)表征了tube的区域宽度，即对错误点的容忍程度。\(\epsilon\)越大，则表示对错误的容忍度越大。\(\epsilon\)是可设置的常数，是SVR问题中独有的，SVM中没有这个参数。另外，SVR的QP形式共有\(\hat{d}+1+2N\)个参数，\(2N+2N\)个条件。

3. Support Vector Regression Dual

现在我们已经得到了SVR的primal形式，接下来将推导SVR的Dual形式。首先，与SVM对偶形式一样，先令拉格朗日因子\(\alpha^{\bigvee}\)和\(\alpha^{\bigwedge}\)，分别是与\(\xi_n^{\bigvee}\)和\(\xi_n^{\bigwedge}\)不等式相对应。这里忽略了与\(\xi_n^{\bigvee}\geq0\)和\(\xi_n^{\bigwedge}\geq0\)对应的拉格朗日因子。

然后，与SVM一样做同样的推导和化简，拉格朗日函数对相关参数偏微分为零，得到相应的KKT条件：

接下来，通过观察SVM primal与SVM dual的参数对应关系，直接从SVR primal推导出SVR dual的形式。

最后，我们就要来讨论一下SVR的解是否真的是sparse的。前面已经推导了SVR dual形式下推导的解\(w\)为：$$w=\sum^{N_{n=1}(\alpha_n}{\bigvee}-\alpha_n^{\bigwedge})z_n$$ 相应的complementary slackness为：

对于分布在tube中心区域内的点，满足\(|w^Tz_n+b-y_n|<\epsilon\)，此时忽略错误，\(\xi_n^{\bigvee}\)和\(\xi_n^{\bigwedge}\)都等于零。则complementary slackness两个等式的第二项均不为零，必然得到\(\alpha_n^{\bigwedge}=0\)和\(\alpha_n^{\bigvee}=0\)，即\(\beta_n=\alpha_n^{\bigwedge}-\alpha_n^{\bigvee}=0\)。所以，对于分布在tube内的点，得到的解\(\beta_n=0\)，是sparse的。而分布在tube之外的点，\(\beta_n\neq0\)。至此，我们就得到了SVR的sparse解。

4. Summary of Kernel Models

这部分将对我们介绍过的所有的kernel模型做个概括和总结。我们总共介绍过三种线性模型，分别是PLA/pocket，regularized logistic regression和linear ridge regression。这三种模型都可以使用国立台湾大学的Chih-Jen Lin博士开发的Liblinear库函数来解决。

另外，我们介绍了linear soft-margin SVM，其中的error function是\(\hat{err}_{svm}\)，可以通过标准的QP问题来求解。linear soft-margin SVM和PLA/pocket一样都是解决同样的问题。然后，还介绍了linear SVR问题，它与linear ridge regression一样都是解决同样的问题，从SVM的角度，使用\(err_{tube}\)，转换为QP问题进行求解，这也是我们本节课的主要内容。

上图中相应的模型也可以转化为dual形式，引入kernel，整体的框图如下：

其中SVM，SVR和probabilistic SVM都可以使用国立台湾大学的Chih-Jen Lin博士开发的Libsvm库函数来解决。通常来说，这些模型中SVR和probabilistic SVM最为常用。

5. 总结

本节课主要介绍了SVR，我们先通过representer theorem理论，将ridge regression转化为kernel的形式，即kernel ridge regression，并推导了SVR的解。但是得到的解是dense的，大部分为非零值。所以，我们定义新的tube regression，使用SVM的推导方法，来最小化regularized tube errors，转化为对偶形式，得到了sparse的解。最后，我们对介绍过的所有kernel模型做个总结，简单概述了各自的特点。在实际应用中，我们要根据不同的问题进行合适的模型选择。