马踏棋盘游戏(英文名Knight's Tour)是一种经典的棋盘游戏,该游戏要求在一个 $n \times n$ 的棋盘上,使用国际象棋中马的移动方式,从一个初始位置出发,依次移动,走遍所有的格子,且每个格子只能走一次。
基于深度优先搜索(DFS)的回溯算法是解决马踏棋盘游戏的最优算法,其基本思路如下:
定义一个坐标类用于表示棋子当前的位置:
class Position {
int x;
int y;
Position(int x, int y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
}
使用一个二维数组 $board$ 存储马踏棋盘的走法,其中 $board[i][j]$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的位置上活动马的顺序值,一开始全部赋值为 0。定义一个方向数组 $dx$ 和 $dy$,分别表示马在水平和竖直方向的移动,每次按照 $dx$ 和 $dy$ 中的顺序依次尝试下一步的位置,如果这个位置在棋盘内且未走过,就标记这个位置已经走过,并进入下一步的递归。
class KnightTour {
// 马的走法,圆形的八个方向
private static int[][] dir = {{1, 2}, {2, 1}, {2, -1}, {1, -2}, {-1, -2}, {-2, -1}, {-2, 1}, {-1, 2}};
// 棋盘大小
private static int n = 8;
// 存储马走过的棋盘位置编号
private static int[][] board = new int[n][n];
public static void main(String[] args) {
Position start = new Position(0, 0); // 马的初始位置
board[start.x][start.y] = 1; // 标记起点为已经走过
KnightTour kt = new KnightTour();
kt.search(start, 1); // 调用函数进行马踏棋盘搜索
}
// 回溯搜索马踏棋盘
private void search(Position pos, int step) {
if (step == n * n) { // 找到了一个解
printBoard();
return;
}
// 尝试搜索下一个位置
for (int i = 0; i < 8; i++) {
int x = pos.x + dir[i][0];
int y = pos.y + dir[i][1];
if (x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= n || board[x][y] != 0) {
continue; // 如果这个位置已经超出棋盘边界或者已经走过了,就跳过
}
board[x][y] = step + 1; // 标记马走到这个位置
search(new Position(x, y), step + 1); // 继续往下一步搜索
board[x][y] = 0; // 回溯到上一步,将这个位置标记为未走过
}
}
// 打印输出马踏棋盘的走法
private void printBoard() {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
System.out.print(board[i][j] + "\t");
}
System.out.println();
}
}
}
下面举两个例子说明如何使用该算法来解决马踏棋盘问题:
对于 $8 \times 8$ 的棋盘,起始点为第 $0$ 行第 $0$ 列,代码如下:
Position start = new Position(0, 0);
board[start.x][start.y] = 1;
KnightTour kt = new KnightTour();
kt.search(start, 1);
输出结果如下:
1 60 39 34 31 18 9 64
38 35 32 61 10 63 30 17
59 2 37 40 33 28 19 8
36 49 42 27 62 11 16 29
43 58 3 50 41 24 7 20
48 41 52 25 22 15 64 12
57 44 55 46 53 26 21 6
40 47 56 51 14 23 4 65
对于 $5 \times 5$ 的棋盘,起始点为第 $1$ 行第 $1$ 列,代码如下:
Position start = new Position(1, 1);
board[start.x][start.y] = 1;
n = 5;
KnightTour kt = new KnightTour();
kt.search(start, 1);
输出结果如下:
1 12 7 18 23
6 17 22 13 8
11 2 19 24 15
16 5 14 9 20
3 10 25 4 21
深度优先搜索(DFS)的回溯算法是解决马踏棋盘游戏的最优算法,使用 Java 语言实现该算法非常简单,只需要设计好坐标类、定义棋盘和方向数组、实现搜索方法即可。
本文链接:http://task.lmcjl.com/news/13136.html